Question

15．已知函数f（x）=lnx，x∈[$\root{3}{e}$，e³]，函数g（x）=[f（x）]²-2a•f（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n，同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，结合二次函数的图象和性质即可求h（a）的表达式．    
（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．

解答 解：（1）∵x∈[$\root{3}{e}$，e³]，
∴lnx∈[$\frac{1}{3}$，3]，
设lnx=t，t∈[$\frac{1}{3}$，3]，
则F（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a² ．
①当a＜$\frac{1}{3}$时，h（a）=$F（t）_{min}=F（\frac{1}{3}）$=$\frac{28-6a}{9}$；
②当$\frac{1}{3}$≤a≤3，h（a）=F（t）_min=F（a）=3-a²；
③当a＞3，h（a）=F（t）_min=F（3）=12-6a．
则h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a＜\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a，a＞3}\end{array}\right.$；
（2）∵m＞n＞3，
∴h（a）=12-6a在（3，∞）上为减函数，
又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[n²，m²]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$，两式相减得6（m-n）=（m-n）（m+n），
∵m＞n＞3，
∴m+n=6，这与m＞n＞3矛盾．
故满足条件的m，n不存在．

点评 本题考查函数恒成立问题，主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．要求熟练掌握二次函数的图象和性质，是中档题．