Question

9．求函数f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{|2x+1|+|x-2|}$的单调区间．

Answer 1

分析 可以看出原函数是复合函数，而$（\frac{1}{2}）^{u}$为减函数，这样通过去绝对值号求函数u=|2x+1|+|x-2|的单调区间，从而由复合函数的单调性即可得出f（x）的单调区间．

解答 解：设u=|2x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1}&{x≤-\frac{1}{2}}\\{x+3}&{-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-1}&{x≥2}\end{array}\right.$；
而y=$（\frac{1}{2}）^{u}$为减函数，原函数是由y=$（\frac{1}{2}）^{u}$和y=u（x）复合而成；
∴根据复合函数的单调性得：
f（x）的单调增区间为（-∞，$-\frac{1}{2}$]，单调减区间为$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查指数函数的单调性，复合函数的单调性的判断及单调区间的求法，以及含绝对值函数处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．