Question

19．已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）•e^x．
（1）当a=2时，求f（x）增区间．
（2）若f（x）在R上是减函数，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递增区间；
（2）先求出函数的导数，问题转化为x²+（2-a）x-a≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质解出即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$；
∴f（x）的单调递增区间是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）f′（x）=-e^x[x²+（2-a）x-a]，
若f（x）在R上是减函数，
则f′（x）≤0在R上恒成立，
即x²+（2-a）x-a≥0在R上恒成立，
∴△=（2-a）²+4a≤0，无解，
∴不存在实数a满足题意．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，二次函数的性质，是一道中档题．