Question

14．求证：
（1）（sin2α-cos2α）²=1-sin4α
（2）tan$\frac{θ}{2}$-$\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}$=-$\frac{2}{tanθ}$
（3）tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2tanx
（4）$\frac{1+sin2φ}{cosφ+sinφ}$=cosφ+sinφ
（5）$\frac{1-2sinαcosα}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{1-tanα}{1+tanα}$
（6）1+cos2θ+2sin²θ=2
（7）$\frac{1-cos2θ}{1+cos2θ}$=tan²θ
（8）$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$=tanθ

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用依次证明等式左边等于右边即可．

解答 证明：（1）左边=（sin²2α+cos²2α）-2sin2αcos2α=1-sin4α=右边；
（2）左边=tan$\frac{θ}{2}$-$\frac{1}{tan\frac{θ}{2}}$=$\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}$-$\frac{1}{\frac{sin\frac{θ}{2}}{cos\frac{θ}{2}}}$=$\frac{si{n}^{2}\frac{θ}{2}-co{s}^{2}\frac{θ}{2}}{sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}}$=$\frac{-cosθ}{\frac{1}{2}sinθ}$=-$\frac{2}{tanθ}$=右边；
（3）左边=tan（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）=tan[（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）][1-$\frac{tan\frac{x}{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{x}{2}tan\frac{π}{4}}$×$\frac{tan\frac{x}{2}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{x}{2}tan\frac{π}{4}}$]=tanx×（1+1）=2tanx=右边；
（4）左边=$\frac{1+sin2φ}{cosφ+sinφ}$=$\frac{（{sinφ+cosφ）}^{2}}{cosφ+sinφ}$=cosφ+sinφ=右边；
（5）左边=$\frac{1-2sinαcosα}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{（cosα-sinα）^{2}}{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}$=$\frac{cosα-sinα}{cosα+sinα}$=$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=右边；
（6）左边=1+cos2θ+2sin²θ=1+（2cos²θ-1）+2sin²θ=2（sin²θ+cos²θ）=2=右边；
（7）左边=$\frac{1-cos2θ}{1+cos2θ}$=$\frac{2si{n}^{2}θ}{2co{s}^{2}θ}$=tan²θ=右边；
（8）左边=$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$=$\frac{1+2sinθcosθ-（1-2si{n}^{2}θ）}{1+2sinθcosθ+（2co{s}^{2}θ-1）}$=$\frac{2sinθ（cosθ+sinθ）}{2cosθ（sinθ+cosθ）}$=tanθ=右边．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数恒等式的证明，熟练掌握三角函数相关公式是解题的关键，属于基础题．