Question

2．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换公式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，由周期公式可得其最小正周期，进而由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解可得f（x）的单调递减区间；
（2）根据题意，由f（A）=4可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围可得A=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b=1，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入数据计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+2$\frac{1+cos2x}{2}$+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
其最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
单调递减区间[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]k∈z；
（2）根据题意，若f（A）=4，则f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+3=4，
则sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由0＜A＜π，
则有A=$\frac{π}{3}$；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，而b=1，
则c=2，
则a²=b²+c²-2bccosA=3，
故a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及三角函数恒等变换的运用，解题的关键是正确化简f（x）的解析式．