Question

17．在矩形ABCD，AB=2，AD=1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足|$\overline{DP}$|=|$\overline{BQ}$|，则向量$\overline{PA}$与向量$\overline{PQ}$的数量积$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$的最小值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设P（x，1），则Q（2，-x）（0≤x≤2），求得向量$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值．

解答 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，
设P（x，1），则Q（2，-x）（0≤x≤2），
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-1），$\overrightarrow{PQ}$=（2-x，-x-1），
即有$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$=-x（2-x）+x+1=x²-x+1
=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
当x=$\frac{1}{2}$∈[0，2]时，取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．