Question

18．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=0，判断△ABC是哪类三角形．

Answer 1

分析 利用向量的运算法则将等式中的向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．

解答 解：∵（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{CB}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²=0，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
∴△ABC为等腰三角形．

点评 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．