Question

1．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=0，S₂=2，且2S_n-nS₁=na_n．
（1）证明：数列{a_n+2}是递增的等差数列；
（2）设b₁=1，b_n=$\frac{2}{S_{n}}$（n≥2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁=0，得na_n=2S_n-nS₁=2S_n，进一步得（n+1）a_n+1=2S_n+1，两式作差后可得（n-1）a_n+1=na_n，得到na_n+2=（n+1）a_n+1，说明数列{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是首项为$\frac{{a}_{2}}{1}=2$的常数数列．由此求得a_n=2（n-1），得到a_n+2=2+2（n-1）=2n，问题得证；
（2）由（1）可得a_n=2n-2，求得${S}_{n}=\frac{n{a}_{n}}{2}=\frac{n（2n-2）}{2}=n（n-1）$，代入b_n=$\frac{2}{S_{n}}$，整理后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：∵a₁=S₁=0，2=S₂=a₁+a₂=a₂，
且2S_n-nS₁=na_n，
∴na_n=2S_n-nS₁=2S_n，
则（n+1）a_n+1=2S_n+1，
两式作差得：（n+1）a_n+1-na_n=2a_n+1，
∴（n-1）a_n+1=na_n，
na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{n+1}=\frac{{a}_{n+1}}{n}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是首项为$\frac{{a}_{2}}{1}=2$的常数数列．
则$\frac{{a}_{n+1}}{n}=2$，a_n+1=2n，
a_n=2（n-1）．
a_n+2=2+2（n-1）=2n，
∴数列{a_n+2}是首项为a₁+2=2，公差为2的等差数列．
∵公差为2＞0，∴数列{a_n+2}是递增的等差数列；
（2）∵a_n+2=2n，∴a_n=2n-2，
∴${S}_{n}=\frac{n{a}_{n}}{2}=\frac{n（2n-2）}{2}=n（n-1）$，
则b_n=$\frac{2}{S_{n}}$=$\frac{2}{n（n-1）}=2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），
又b₁=1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1+2（1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1+2（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3n-2}{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．