Question

19．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+1（x∈R，a＞1）在区间x∈[-1，1]上最小值为-2．
（1）求a的值以及f（x）在x∈R时的极值；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间x∈[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，利用闭区间最值的判断求a的值．利用导数求极值
（2）在区间x∈[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．

解答 （1）f′（x）=3x²-3ax，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵a＞1，
在[-1，0]上，f′（x）＞0；在[0，1]上，f′（x）＜0
∴f（x）在[-1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数．
∵f（-1）=-$\frac{3}{2}$a，f（1）=2-$\frac{3}{2}$a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）=-2，a=$\frac{4}{3}$．
∵f（x）在（-∞，0）和（a，+∞）上为增函数，在[0，a]上为减函数
∴f（0）=1为极大值，f（a）=-$\frac{5}{27}$为极小值．
（2）g（x）=x³-2x²-mx+1，g′（x）=3x²-4x-m．
由g（x）在[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．
∴g′（-2）＜0且g′（2）＜0
即 m＞20且m＞4
∴m≥20．
∴实数m的取值范围是m≥20．

点评 考察了闭区间求最值，利用导数求极致，导函数的利用．