Question

9．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别是棱AA₁、CC₁的中点，过直线EF的平面分别与棱BB₁，DD₁交于M、N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD₁B₁；
②四边形MENF的周长L=f （x），x∈[0，1]是单调函数；
③四边形MENF的面积S=g（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C₁-MENF的体积V=h（x），x∈[0，1]为常值函数．
其中真命题的编号为①④．

Answer 1

分析 ①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，EM的长度由大变小．当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调；③四边形MENF的对角线EF是固定的，根据对称性，可得四边形MENF的面积S=g（x），x∈[0，1]不是单调函数；④求出四棱锥的体积，进行判断．

解答 解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，EM的长度由大变小．当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
③连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，根据对称性，可得四边形MENF的面积S=g（x），x∈[0，1]不是单调函数，故不正确．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．