Question

17．已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）若f（x）≤m²+m+1对一切x≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）≥x，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数f（x）=x|x-2|=-（x-1）²+1的最大值为1，再由1≤m²+m+1，求得m的范围．
（2）把要解的不等式等价转化为与之等价的2个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．．

解答 解：（1）当x≤2 时，函数f（x）=x|x-2|=x（2-x）=2x-x²=-（x-1）²+1的最大值为1，
若f（x）≤m²+m+1对一切x≤2恒成立，则有1≤m²+m+1，求得 m≤-1，或 m≥0．
（2）若f（x）≥x，即 x|x-2|≥x，则 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x（x-2）≥x}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{x（2-x）≥x}\end{array}\right.$②．
解①求得x≥3，解②求得0≤x≤1．
综上可得，x的范围为{x|x≥3，或0≤x≤1}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．