Question

12．已知点M是△ABC的重心，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，用$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$表示$\overrightarrow{MC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}$$-\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$．

Answer 1

分析 可作出图形，延长CM交AB于D，根据重心的性质便得到$\overrightarrow{MC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，而由向量减法的几何意义即可用$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$表示向量$\overrightarrow{CD}$，从而表示出$\overrightarrow{MC}$．

解答 解：如图所示，重心是中线的交点，延长CM交AB于D，则根据重心的性质：
$\overrightarrow{MC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}）$=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{1}}$．
故答案为：$\frac{2}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}-\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{1}}$．

点评 考查三角形重心的定义，重心的性质：到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量减法的几何意义，共线向量基本定理．