Question

2．解关于x的不等式$\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}+ax}$＞0（a≠0）

Answer 1

分析 根据配方法化简分母并由二次函数的性质判断出符号，将$\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}+ax}＞0$等价转化后，对a进行分类讨论，分别由一元二次不等式的解法求出不等式的解集，要用集合或区间的形式表示．

解答 解：因为${x}^{2}-x+1={（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
所以$\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}+ax}＞0$化为x²+ax＞0，则x（x+a）＞0，
当a＞0时，由x（x+a）＞0得，x＞0或x＜-a；
当a＜0时，由x（x+a）＞0得，x＜0或x＞-a，
综上可得，不等式的解集是：当a＞0时，{x|x＞0或x＜-a}；
当a＜0时，{x|x＜0或x＞-a}．

点评 本题考查分式和一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的性质，考查化简能力、分类讨论和转化思想．