Question

11．2015年高中学业水平考试之后，为了调查同学们的考试成绩，随机抽查了某高中的高二一班的10名同学的语文、数学、英语成绩，已知其考试等级分为A，B，C，现在对他们的成绩进行量化：A级记为2分，B级记为1分，C级记为0分，用（x，y，z）表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，再用综合指标w=x+y+z的值评定该同学的得分等级．若w≥4，则得分等级为一级；若2≤w≤3．则得分等级为二级；若0≤w≤1，则得分等级为三级．得到如下结果：

人员编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；
（Ⅱ）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为a，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a-b，求X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n=${C}_{10}^{2}$，10名学生中A₁，A₃，A₆，A₈等4名学生的英语成绩都是2分，另外6名学生的英语成绩都是1分，再求出任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数，由此能求出这两位同学英语得分相同的概率．
（Ⅱ）由已知条件求出X的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，从而能求出X的分布列数学期望．

解答 解：（Ⅰ）在这10名同学中任取两人，基本事件总数n=${C}_{10}^{2}$=45，
∵A₁，A₃，A₆，A₈等4名学生的英语成绩都是2分，
另外6名学生的英语成绩都是1分，
∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数m=${C}_{4}^{2}+{C}_{6}^{2}$=21，
∴这两位同学英语得分相同的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$．
（Ⅱ）得分等级是一级的同学有A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，A₉，
其中A₁，A₂，A₅，A₉的综合指标为4，A₆，A₈的综合指标为5，A₃的综合指标为6，
得分等级为二级的同学有A₄，综合指标为1，A₇，A₁₀，综合指标都是3，
∴X的可能取值为1，2，3，4，5，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{8}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{4}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}×{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}×{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{C}_{3}^{1}}$=$\frac{2}{21}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}×{C}_{1}^{1}}{{C}_{7}^{1}×{{C}_{3}^{1}}_{\;}}$=$\frac{1}{21}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{1}{21}$

X的数学期望EX=$1×\frac{8}{21}+2×\frac{4}{21}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{2}{21}+5×\frac{1}{21}$=$\frac{47}{21}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中这部分内容都是必考知识点，是中档题．