Question

3．求下列不等式的解集
（1）|x+1|-|2x-6|＞3
（2）x+$\frac{2}{x+1}$＞2．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式对x进行分类讨论，分别由x的范围化简不等式，并求出不等式的解集；
（2）将分式不等式进行等价转化，由二次不等式的解法求出不等式的解集．

解答 解：（1）当x≤-1时，不等式化为：-（x+1）+（2x-6）＞3，
则x-7＞3，解得x＞10，不成立；
当-1＜x＜3时，不等式化为：（x+1）+（2x-6）＞3，
则3x-5＞3，解得x＞$\frac{8}{3}$，所以$\frac{8}{3}＜x＜3$；
当x≥3时，不等式化为：（x+1）-（2x-6）＞3，
则-x+7＞3，解得x＜4，所以3≤x＜4；
综上可得，所求的解集是{x|$\frac{8}{3}＜x＜4$}；
（2）由x+$\frac{2}{x+1}$＞2得，$\frac{x（x-1）}{x+1}＞0$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x（x-1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{x（x-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得-1＜x＜0或x＞1，
所以不等式的解集是{x|-1＜x＜0或x＞1}．

点评 本题考查分式不等式及二次不等式，考查分类讨论思想、转化思想，属于中档题．