Question

18．求二次函数在给定区间的最值：
（1）y=x²，t≤x≤t+1
（2）y=x²-2mx，-1≤x≤1．

Answer 1

分析 （1）可设y=f（x），该函数的对称轴为x=0，从而要讨论对称轴和区间[t，t+1]的关系：分t+1≤0，t＜0＜t+1，和t≥0三种情况，在每种情况里，根据二次函数的单调性或取得顶点的情况和比较端点值的方法，求出f（x）的最值即可；
（2）该函数的对称轴为x=m，方法同（1），只不过这里对称轴是变量，而上个区间是变量，过程应一样．

解答 解：（1）设y=f（x），①若t+1≤0，即t≤-1，则原函数在[t，t+1]上单调递减；
∴x=t时，原函数取最大值t²，x=t+1时，取最小值（t+1）²；
②若t＜0＜t+1，即-1＜t＜0，f（t）=t²，f（t+1）=t²+2t+1；
f（t+1）-f（t）=2t+1；
∴1）$-1＜t≤-\frac{1}{2}$时，f（t+1）＜f（t）；
∴f（x）的最大值为f（t）=t²，最小值为f（0）=0；
③若t≥0，则f（x）在[t，t+1]上单调递增；
∴f（x）的最大值为f（t+1）=（t+1）²，最小值为f（t）=t²；
（2）设y=f（x），f（x）的对称轴为x=m；
∴①m≤-1时，f（x）在[-1，1]上单调递增；
∴f（x）的最大值为f（1）=1-2m，最小值为f（-1）=1+2m；
②-1＜m＜1时，f（x）的最小值为-m²，f（m）=f（-1）=1+2m，f（1）=1-2m；
∴f（-1）-f（1）=4m；
1）-1＜m≤0时，f（-1）≤f（1）；
∴f（x）的最大值为f（1）=1-2m；
2）0＜m＜1时f（-1）＞f（1）；
∴f（x）的最大值为f（-1）=1+2m；
③m≥1时，f（x）在[-1，1]上单调递减；
∴f（x）的最大值为f（-1）=1+2m，最小值为f（1）=1-2m．

点评 考查函数最值的定义，二次函数的对称轴，二次函数的单调性特点，以及根据单调性或取得顶点情况与比较端点值的方法求二次函数最值的方法．