Question

3．试求函数f（x）=-x²+2ax-3在[1，3]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 将f（x）配方，所以对称轴是x=a，所以讨论对称轴x=a和区间[1，3]的关系：有三种关系：（1）对称轴在区间的右边，（2）对称轴在区间上，（3）对称轴在区间左边，根据二次函数的单调性及顶点求出每种情况下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答 解：f（x）=-x²+2ax-3=-（x-a）²-3+a²；
①若a≥3，则函数f（x）在[1，3]上单调递增，
所以：f（x）的最大值为g（a）=f（3）=6a-12，
②若1＜a＜3，f（x）的最大值为g（a）=f（a）=a²-3，
③若a≤1，则f（x）在[1，3]上单调递减，
所以：f（x）的最大值为g（a）=f（1）=2a-4，
综上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-12，（a≥3）}\\{{a}^{2}-3，（1＜a＜3）}\\{2a-4，（a≤1）}\end{array}\right.$．

点评 考查根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求二次函数最值的方法，以及二次函数单调性和对称轴的关系．