Question

4．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²+bx+c．
（1）若曲线y=f（x）在点 （1，f（1））处的切线方程为y=3x+$\frac{1}{2}$，分别求b，c的值．
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题可知：f（1）=$\frac{7}{2}$，f′（1）=3，列方程，求解
（2）求导，利用导函数求闭区间的最值，把恒成立问题转化为最值问题．

解答 解：（1）由题知：f（1）=$\frac{7}{2}$，f′（1）=3，f′（x）=3x²-x+b
∴b=1，c=2
（2）f′（x）=3x²-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2，
得f′（x）=3x²-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立
∴x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c＜c²在[-1，2]上恒成立
∴x³-$\frac{1}{2}$x²-2x＜c²-c在[-1，2]上恒成立．
设h（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x
则h′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，-$\frac{2}{3}$）时，h′（x）＞0
当x∈（-$\frac{2}{3}$，1）时，h′（x）＜0
当x∈（1，2）时，h′（x）＞0
∴当x=-$\frac{2}{3}$时，h（x）取得极大值为h（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{22}{27}$
h（2）=2
所以在[-1，2]上h（x）_max=h（2）=2
则有c²-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评 考查了曲线上某点的切线的斜率等于该点的导数值；利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的