Question

如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A＝D₁D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点.

(1)求证：A₁O∥平面AB₁C；

(2)求锐二面角A－C₁D₁－C的余弦值.

Answer 1

(1)如图，连接CO，AC，

则四边形ABCO为正方形，

∴OC＝AB＝A₁B₁，OC∥AB∥A₁B₁，

故四边形A₁B₁CO为平行四边形，

∴A₁O∥B₁C，

又A₁O平面AB₁C，B₁C⊂平面AB₁C，

∴A₁O∥平面AB₁C.

(2)∵D₁A＝D₁D，O为AD的中点，∴D₁O⊥AD，又侧面ADD₁A₁⊥底面ABCD，

故D₁O⊥底面ABCD，

以O为原点，OC，OD，OD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(1,0,0)，D(0,1,0)，D₁(0,0,1)，A(0，－1,0)，

∴＝(1，－1,0)，＝(0，－1,1)，＝(0，－1，－1)，＝＝(1，－1,0)，

设m＝(x，y，z)为平面CDD₁C₁的一个法向量，由m⊥，m⊥，得，

令z＝1，则y＝1，x＝1，∴m＝(1,1,1)

又设n＝(x₁，y₁，z₁)为平面AC₁D₁的一个法向量，由n⊥，n⊥，得，

令z₁＝1，则y₁＝－1，x₁＝－1，∴n＝(－1，－1,1)，

则cos〈m，n〉＝＝－，故所求锐二面角

A－C₁D₁－C的余弦值为.