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某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图所示).已知PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工.

解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy,设M(x,y)是沿AP、BP运土同样远的点,则
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
在△PAB中,由余弦定理得
|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos60°=17500,且50<|AB|.
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上,设此双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
∵2a=50,4c2=17500,c2=a2+b2
解之得a2=625,b2=3750.
∴M点轨迹是-=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.
于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
分析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类:(1)沿AP到P较近;(2)沿BP到P较近;(3)沿AP、BP到P同样远.
显然,第三类点是第一、二类的分界点,设M是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|.于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.从而发现第三类点M满足性质:点M到点A与点B的距离之差等于常数50,由双曲线定义知,点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程.
点评:本题主要考查了双曲线的应用.解题的关键是通过建立数学模型把实际问题转化为数学问题,利用解析几何的知识来解决.
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