Question

某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工.

Answer 1

剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远.

    显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.

    于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=150-100=50.

    从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy,设M(x,y)是沿AP、BP运土同样远的点，则

    ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜,

    ∴｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.

    在△PAB中，由余弦定理得｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²-2｜PA｜｜PB｜cos60°=17 500,

且50＜｜AB｜.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为-=1(a＞0,b＞0).

    ∵

    解之得

    ∴M点轨迹是-=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.

讲评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.

（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.