Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量

m

=（a，b），

n

=（sinA，cosB），

P

=（1，1）．
（I）若

m

∥

n

，求角B的大小：
（Ⅱ）若

m

•

p

=4，边长c=2，角c=

π

3

求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积的运算法则化简

m

•

p

=4，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c²，变形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

，∴acosB=bsinA，（2分）
根据正弦定理得：2RsinAcosB=2RsinBsinA（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1，又B∈（0，π），
∴B=

π

4

；（8分）
（Ⅱ）由

m

•

p

=4得：a+b=4，（8分）
由余弦定理可知：4=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
于是ab=4，（12分）
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．（13分）

点评：此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．