Question

已知点A（-2，0），B（2，0）直线PA与直线PB斜率之积为-，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线c的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|-|-|+|，是否存在以原点为圆心且与MN总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-，得．
整理得曲线C的方程为．----（4分）
（Ⅱ）若|-|=|+|，则．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁）．
由得，又，∴．
∴直线MN方程为．
∴原点O到直线MN的距离d=．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．（*）----（8分）
由得，整理得（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
（*）式代入：（k²+1）×+km×+m²=0
解得7m²=12（k²+1）．----（10分）
此时原点O到直线MN的距离d=．
故原点O到直线MN的距离恒为d=．
∴存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为．----（12分）
分析：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为-，建立等式，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）若|-|=|+|，则．分斜率存在与不存在，结合椭圆的方程，利用韦达定理，可得原点O到直线MN的距离恒为d=，从而存在以原点为圆心且与MN总相切的圆．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．