Question

6．定义：h₁（x）•h₂（x）=1，则h₁（x）与h₂（x）互成“置换函数”，已知f（x）是函数y=e⁰x+e^-x的置换函数
（1）证明：f（x）的值域为（0，1]；
（2）在x∈（0，+∞）区间上（ax²+1）f（x）＞1成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=x+e^-x的导数，求得单调区间，可得最小值，再由不等式的性质，即可得证；
（2）由题意可得a＞$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$的最大值，构造g（x）=$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，只需证得g（x）≤0在x＞0恒成立，即为x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²≤0，由h（x）=x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²的导数为1-e^-x-x，再由e^x≥x+1，即可得到a的范围．

解答 解：（1）证明：函数y=x+e^-x的导数为y′=1-e^-x，
当x＞0时，函数y′＞0，函数递增；
当x＜0时，函数y′＜0，函数递减．
即有x=0处取得最小值，且为1，
即y≥1，由“置换函数”的定义可得f（x）∈（0，1]；
（2）由在x∈（0，+∞）区间上（ax²+1）f（x）＞1成立，
即为a＞$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$的最大值，
构造g（x）=$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，只需证得g（x）≤0在x＞0恒成立，
即为x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²≤0，
由h（x）=x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²的导数为1-e^-x-x，
由e^x-x-1的导数为e^x-1，可得x＞0，函数递增；x＜0，函数递减．
即有x=0处取得最小值0，即有e^x≥x+1，
即有e^-x≥-x+1，即为1-e^-x-x≤0，
可得h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，
则g（x）≤0在x＞0恒成立，
即有a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，构造函数运用导数求最值，属于中档题．