Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．

(1)求证：AB1⊥BF；

(2)求证：AE⊥BF；

(3)棱CC1上是否存在点F，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）P是CC1的中点．

【解析】(1)证明：连结A1B，CD1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B∩BC＝B，

∴AB1⊥平面A1BCD1，又BF平面A1BCD1，所以AB1⊥BF.

(2)证明：取AD中点M，连结FM，BM，∴AE⊥BM，

又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF平面BFM，∴AE⊥BF.

(3)【解析】
存在，P是CC1的中点．易证PE∥AB1，故A、B1、E、P四点共面．

由(1)(2)知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB1，即BF⊥平面AEP.