Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．

（Ⅱ）证明：当时， ．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.

试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.

①当时， 恒成立，函数在上单调递增，又，所以函数在定义域上有个零点.

②当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又，所以函数在定义域上有个零点.

综上所述实数的取值范围为.

（2）要证明当时， ，即证明当时， ，即，令，则，当时， ；当时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当时， .于是，当时， .①令，则.当时， ；当时， .所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时， .于是，当时， .②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当时， ).