Question

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R⁺是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）．同理求出f（9）后，令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）证明f（x）在R⁺是减函数；取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围，由（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，再根据单调性，列出不等式．解出取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，得f(

1

9

)=2.
（Ⅱ）取定义域中的任意的x₁，x₂
且0＜x1＜x2?

x2

x1

＞1 ?f(

x2

x1

)＜0
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：

x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2

解得x的范围是(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

点评：此题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题．属于综合性问题，涵盖知识点较多，属于中档题目．