【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线,的公共点为.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)若点分别为曲线,上的动点,当取最大值时,求四边形的面积.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程,将曲线C2化为直角坐标方程,两式作差得直线AB的方程,则直线AB的斜率可求;
(Ⅱ)由C1方程可知曲线是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,由C2方程可知曲线是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆,又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|,可知当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线AB上,进一步求出直线CD(即直线C1C2)的方程,再求出O到直线CD的距离,则四边形ACBD的面积可求.
(Ⅰ)消去参数α得曲线C1的普通方程C1:x2+y2﹣2y=0.…(1)
将曲线C2:ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0.…(2)
由(1)﹣(2)化简得y=2x,即为直线AB的方程,故直线AB的斜率为2;
(Ⅱ)由C1:x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1(0,1)为圆心,半径为1的圆,
由C2:x2+y2﹣4x=0知曲线C2:是以C2(2,0)为圆心,半径为2的圆.
∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|,
∴当|CD|取最大值时,圆心C1,C2在直线CD上,
∴直线CD(即直线C1C2)的方程为:2x+y=2.
∵O到直线CD的距离为,即|AB|=
又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+,
∴四边形ACBD的面积.
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【题目】某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果,假设每箱售价不低于50元且不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,每天可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图①,在等腰梯形中,,,分别为,的中点,,为中点现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体在图②中,
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系中的原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(为实数.)
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线有公共点,求的取值范围.
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【题目】某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了100名中学生进行调查.右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450),[450,550),[550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” .
(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关?
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
(参考公式:,其中)
P() | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某医疗器械公司在全国共有个销售点,总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.
(1)完成年销售任务的销售点有多少个?
(2)若用分层抽样的方法从这个销售点中抽取容量为的样本,求该五组,,,,,(单位:千台)中每组分别应抽取的销售点数量.
(3)在(2)的条件下,从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取个,求这两个销售点不在同一组的概率.
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【题目】有2名男生、3名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(以下各题请用数字作答)
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男、女生分别排在一起;
(4)男女相间;
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【题目】某公司共有10条产品生产线,不超过5条生产线正常工作时,每条生产线每天纯利润为1100元,超过5条生产线正确工作时,超过的生产线每条纯利润为800元,原生产线利润保持不变.未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元.用x表示每天正常工作的生产线条数,用y表示公司每天的纯利润.
(I)写出y关于x的函数关系式,并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数.
(II)为保证新开的生产线正常工作,需对新开的生产线进行检测,现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数,标准差,绘制如图所示的频率分布直方图,以频率值作为概率估计值.为检测该生产线生产状况,现从加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)
①
②
③
评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修.
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