Question

【题目】已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因为要求的最小值，可作垂直线段CD⊥AB，根据向量的运算可得，，根据条件求得CD的长度为1，所以点D的轨迹为。根据两圆方程可知点P的轨迹与点D的轨迹外离，故的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径。

∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，

∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），

∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，

作垂直线段CD⊥AB，CD==1，

所以点D的轨迹为,

则，

因为圆P和圆D的圆心距为，

所以两圆外离，

所以|PD|最小值为，

所以的最小值为4﹣2.

故答案为：4﹣2.