Question

【题目】已知函数（，e是自然对数的底，）

（1）讨论的单调性；

（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：．

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.

【解析】

（1）先求导数，再求导函数零点，再根据与大小关系分类讨论函数单调性，（2）先研究单调性，转化所证不等式为，再根据单调性，转化证明且．最后利用不等式性质进行论证.

（1），

设 ，

解法一：由和在上单调递增，可知在上单调递增，

解法二：由得可知在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

①当时，，

当时，；当时，．

②当时，由得或x＝1，

当时，，，；

当时，；当时，．

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

（2）解法一（分析法）：

当时，由（1）知在上的最大值为，

可知，所以在上无零点．

若是函数的零点，则，

∵，

解法一：由和在上单调递增，且、，可知在上单调递增，

解法二：设，则，

由得，，所以，

可知在上单调递增，

要证，只需证，

由（1）知在上单调递增，

只需证，又，

只需证且．

，

由，，得，又，所以；

，由得，

综上所述，得证．

方法二（综合法）：

当时，由（1）知在上的最大值为，

可知，所以在上无零点．

若是函数的零点，则，

而 ，

由，，得，又，所以；

，由得，

所以，又，即，

由（1）知在上单调递增，所以，

而，

由和在上单调递增，且、，

可知在上单调递增，

所以，得证．