【题目】已知函数(
,e是自然对数的底,
)
(1)讨论的单调性;
(2)若,
是函数
的零点,
是
的导函数,求证:
.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;当
时,
在
单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增; (2)见解析.
【解析】
(1)先求导数,再求导函数零点,再根据与
大小关系分类讨论函数单调性,(2)先研究
单调性,转化所证不等式为
,再根据
单调性,转化证明
且
.最后利用不等式性质进行论证.
(1),
设
,
解法一:由和
在
上单调递增,可知
在
上单调递增,
解法二:由得
可知
在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
①当时,
,
当时,
;当
时,
.
②当时,由
得
或x=1,
当时,
,
,
;
当时,
;当
时,
.
综上所述:当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
当时,
在
单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)解法一(分析法):
当时,由(1)知
在
上的最大值为
,
可知,所以
在
上无零点.
若是函数
的零点,则
,
∵,
解法一:由和
在
上单调递增,且
、
,可知
在
上单调递增,
解法二:设,则
,
由得
,
,所以
,
可知在
上单调递增,
要证,只需证
,
由(1)知在
上单调递增,
只需证,又
,
只需证且
.
,
由,
,得
,又
,所以
;
,由
得
,
综上所述,得证.
方法二(综合法):
当时,由(1)知
在
上的最大值为
,
可知,所以
在
上无零点.
若是函数
的零点,则
,
而
,
由,
,得
,又
,所以
;
,由
得
,
所以,又
,即
,
由(1)知在
上单调递增,所以
,
而,
由和
在
上单调递增,且
、
,
可知在
上单调递增,
所以,得证.
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【题目】动点到直线
的距离比它到点
的距离大1.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过定点作直线
,与(1)中的轨迹
相交于
、
两点,
为点
关于原点
的对称点,证明:
;
(3)在(2)中,是否存在垂直于轴的直线
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】北京地铁八通线西起四惠站,东至土桥站,全长,共设13座车站
目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准,各站间计程票价
单位:元
如下:
四惠 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | |
四惠东 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | ||
高碑店 | 3 | span>3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | |||
传媒大学 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | ||||
双桥 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | |||||
管庄 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | ||||||
八里桥 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | |||||||
通州北苑 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
果园 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||
九棵树 | 3 | 3 | 3 | ||||||||||
梨园 | 3 | 3 | |||||||||||
临河里 | 3 | ||||||||||||
土桥 | |||||||||||||
四惠 | 四惠东 | 高碑店 | 传媒大学 | 双桥 | 管庄 | 八里桥 | 通州北苑 | 果园 | 九棵树 | 梨园 | 临河里 | 土桥 |
1
在13座车站中任选两个不同的车站,求两站间票价为5元的概率;
2
在土桥出站口随机调查了n名下车的乘客,将在八通线各站上车情况统计如下表:
上车站点 | 通州北苑
| 双桥 | 四惠
|
频率 | a | b | |
人数 | c | 15 | 25 |
求a,b,c,n的值,并计算这n名乘客乘车平均消费金额;
3
某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站,中途任选一站出站一次,之后再从该站乘车
若想两次乘车花费总金额最少,可以选择中途哪站下车?
写出一个即可
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【题目】如图所示:在五面体ABCDEF中,四边形EDCF是正方形,AD=DE=1,∠ADE=90°,∠ADC=∠DCB=120°.
(Ⅰ)求证:平面ABCD⊥平面EDCF;
(Ⅱ)求三棱锥A-BDF的体积.
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【题目】某地种植常规稻A和杂交稻B,常规稻A的亩产稳定为500公斤,统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%.统计杂交稻B的亩产数据,得到亩产的频率分布直方图如下;统计近10年来杂交稻B的单价(单位:元/公斤)与种植亩数(单位:万亩)的关系,得到的10组数据记为,并得到散点图如下,参考数据见下.
(1)求出频率分布直方图中m的值,若各组的取值按中间值来计算,求杂交稻B的亩产平均值;
(2)判断杂交稻B的单价y(单位:元/公斤)与种植亩数x(单位:万亩)是否线性相关,若相关,试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程;
(3)调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩,估计明年常规稻A的单价,若在常规稻A和杂交稻B中选择,明年种植哪种水稻收入更高?
统计参考数据:,
,
,
,
附:线性回归方程,
.
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【题目】如图,∠C=,
,M,N分别是BC,AB的中点,将△BMN沿直线MN折起,使二面角B'-MN-B的大小为
,则B'N与平面ABC所成角的正切值是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,直线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|.
(1)求p的值;
(2)已知点T(t,-2)为C上一点,M,N是C上异于点T的两点,且满足直线TM和直线TN的斜率之和为,证明直线MN恒过定点,并求出定点的坐标.
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【题目】九章算术
给出求羡除体积的“术”是:“并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一”,其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长,“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离,“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离,用现代语言描述:在羡除
中,
,
,
,
,两条平行线
与
间的距离为h,直线
到平面
的距离为
,则该羡除的体积为
已知某羡除的三视图如图所示,则该羡除的体积为
A. B.
C.
D.
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