Question

【题目】如图所示：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．

（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面EDCF；

（Ⅱ）求三棱锥A－BDF的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析：（2）

【解析】

（1）推导出AD⊥DE，CD⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF，（2）三棱锥A﹣BDF的体积VA﹣BDF＝VF﹣ABD，由此能求出结果．

（1）证明：∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，

∴AD⊥DE，CD⊥DE，

∵AD∩CD＝D，∴DE⊥平面ABCD，

∵DE平面EDCF，∴平面ABCD⊥平面EDCF．

（2） 由(１)知DE⊥平面，所以平面. 等腰三角形

又DC∥EF，平面ABFE，平面ABFE，所以DC∥平面ABFE.

又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD.所以四边形为等腰梯形.又AD=DE，所以AD=CD＝ＣＢ，由,在等腰中由余弦定理得ＢＤ＝，ＡＤＢＤ，所以三棱锥的体积为.