Question

11．已知函数f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=-$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，可得cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可得解．
（2）由f（C）=$\frac{1}{2}$cos（2C+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，可解得C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，结合范围由0＜C＜π，可得C=$\frac{π}{3}$，利用三角形面积公式可求b，利用余弦定理即可求得边长c的值．

解答 解：（1）∵f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx=$\frac{1+cos2x}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上的值域为：[0，$\frac{3}{4}$]．
（2）∵f（C）=$\frac{1}{2}$cos（2C+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，可解得：cos（2C+$\frac{π}{3}$）=-1，即：C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴由0＜C＜π，可得C=$\frac{π}{3}$，
∵a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，可得：2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×b×sin\frac{π}{3}$，解得b=4，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理的综合应用，属于中档题．