Question

已知函数，，．
（1）若在存在极值，求的取值范围；
（2）若，问是否存在与曲线和都相切的直线？若存在，判断有几条？并求出公切线方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）（2）存在一条公切线，切线方程为：

试题分析：（Ⅰ） 依题有：则在上有变号零点；
令，则
当，则；当，则
因此，在处取得极小值。            3分
而，，
易知，
①当存在两个变号零点时，，可得：
②      当存在一个变号零点时，，可得：
综上，当在上存在极值时，的范围为：       6分
(Ⅱ) 当时，，
易知是与的一个公共点。
若有公共切线，则必为切点，∵，∴
可知在处的切线为
而，∴则
可知在处的切线也为
因此，存在一条公切线，切线方程为：。          12分
点评：函数在某区间有极值，则在区间上有变号零点，转化为导函数最大值最小值一正一负，第二问找到两函数的公共点是求解的关键，只需求在该点处的两条切线看其是否相同