Question

19．已知命题p：空间两向量$\overrightarrow{AB}$=（1，-1，m）与$\overrightarrow{AC}$=（1，2，m）的夹角不大于$\frac{π}{2}$；命题q：双曲线$\frac{y^2}{5}$-$\frac{x^2}{m}$=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由￢q与p∧q均为假命题，可得q为真命题，p为假命题．分别求出两个命题对应的参数的范围，进而可得答案．

解答 解：若命题p为真，则有$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞≥$0，
即$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-1+{m^2}≥0$，解得m≤-1或m≥1，
若命题q为真，则有1＜$\frac{5+m}{5}$＜4，
解得：0＜m＜15，
∵￢q与p∧q均为假命题，
∴q为真命题，p为假命题．
则有$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\ 0＜m＜15\end{array}\right.$解得0＜m＜1．
故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，向量夹角，双曲线的性质等知识点，难度中档．