Question

7．某高校调查了20名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）．
（1）求直方图中a的值；
（2）从每周自习时间在[25，30]的受调查学生中，随机抽取2人，求恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．
（2）每周自习时间在[25，27.5]的受调查学生有4人，每周自习时间在[27.5，30]的受调查学生有2人，由此能求出随机抽取2人，恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
（0.02+a+0.16+0.08+0.04）×2.5=1，
解得a=0.1．
（2）每周自习时间在[25，30]的受调查学生中，
每周自习时间在[25，27.5]的受调查学生有0.08×2.5×20=4人，
每周自习时间在[27.5，30]的受调查学生有0.04×2.5×20=2人，
随机抽取2人，基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}=8$．
∴恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．