Question

【题目】已知函数（）.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的极值点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，只有一个极大值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点

【解析】

（1）将点坐标代入函数解析式，求得参数的值，代入导函数即可求得切线的斜率，进而求得切线方程.

（2）求得导函数并化简变形，进而讨论、、三种情况，结合函数的单调性即可确定极值情况.

（1）函数图象过点，

代入可得，

∴解得.

代入函数可得，

则，

所以，

由点斜式可得切线方程为.

所以函数在点处的切线方程为.

（2）函数（）.

则，，

令，.

（ⅰ）当时，代入可得，

令，解得，

当，，所以函数在内单调递增，

当时，，所以函数在时单调递减，

因而只有一个极大值点

（ⅱ）当时，令，

由两根之积为可知方程只有一个正根，

当时，，所以函数单调递增，

当时，，所以函数单调递减，

因而只有一个极大值点

（ⅲ）当时，令，有两个正根，

	+	0	-	0	+
	增	极大值	减	极小值	增

综上可知，当时，只有一个极大值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点.