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已知椭圆E:+y2=1(a>1)的上顶点为M(0,1),两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求椭圆E的方程;
(2)若Rt△MAB面积的最大值为,求a;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线AB是否经过一定点?如果经过,求出定点坐标(用a表示);反之,说明理由.
(1)+y2=1.(2)a=3(3)
(1)由题,a2=c2+1,d==c+≥2,当c=1时取等号,此时a2=1+1=2,故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)不妨设直线MA的斜率k>0,直线MA方程为y=kx+1,由
①代入②整理得(a2k2+1)x2+2a2kx=0,
解得xA=-,故A
由MA⊥MB知直线MB的斜率为-,可得B
则MA=,MB=.
则S△MABMA·MB=(1+k2)
.
令k+=t(t≥2),
则S△MAB.
当t=时取“=”,∵t=≥2,得a>+1.而(S△MAB)max,故a=3或a=(舍).综上a=3.
(3)由对称性,若存在定点,则必在y轴上.
当k=1时,A,直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线:
∵kAQ
kBQ.
由kAQ=kBQ知A、Q、B三点共线,即直线AB过定点Q.
练习册系列答案
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则弦AP长度的最大值为(   )
A.B.2C.D.4

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