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如图,设E:=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ.
见解析
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则S=r1r2sin2θ.又|F1F2|=2c,
由余弦定理有(2c)2-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.
所以r1r2.这样即有S=sin2θ=b2=b2tanθ.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,过且于x轴垂直的直线与椭圆交于S,T,与抛物线交于C,D两点,且

(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB..

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆C的方程;
(2)己知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,正方形CDEF内接于椭圆,且它的四条边与坐标轴平行,正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边EF上.且CD=2PQ=

(1)求椭圆的方程;
(2)已知点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0),l交椭圆于A,B两个不同点,求证:直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆,圆,过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与x轴,y轴分别交于点M,N,则_____________

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E:+y2=1(a>1)的上顶点为M(0,1),两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求椭圆E的方程;
(2)若Rt△MAB面积的最大值为,求a;
(3)对于给定的实数a(a>1),动直线AB是否经过一定点?如果经过,求出定点坐标(用a表示);反之,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.

(1)求椭圆C的方程;
(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且+5=0.
 
(1)求椭圆E的离心率; (2)已知点D(1,0)为线段OF2的中点,M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连结MF1并延长交椭圆E于点N,连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连结PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2,试问是否存在常数λ,使得k1+λk2=0恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

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