Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CD、A₁D₁中点．
 
(1)求证：AB₁⊥BF；
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC₁上是否存在点F，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）P是CC₁的中点．

(1)证明：连结A₁B，CD₁，∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BC，A₁B∩BC＝B，
∴AB₁⊥平面A₁BCD₁，又BF平面A₁BCD₁，所以AB₁⊥BF.
(2)证明：取AD中点M，连结FM，BM，∴AE⊥BM，
又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF平面BFM，∴AE⊥BF.
(3)解：存在，P是CC₁的中点．易证PE∥AB₁，故A、B₁、E、P四点共面．
由(1)(2)知AB₁⊥BF，AE⊥BF，AB₁∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB₁，即BF⊥平面AEP.