Question

如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：

(1)MN∥平面PCD；
(2)四边形MNCD是直角梯形；
(3)DN⊥平面PCB.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

(1)因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.
因为CD∥AB，所以MN∥CD.
又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.
(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PD.
因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.
因为MD平面PAD，所以CD⊥MD.
又MN∥CD，MN≠CD，
所以四边形MNCD是直角梯形．
(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，
从而∠PAD＝60°.
在Rt△PDA中，AD＝，PD＝，PA＝2，MD＝.
在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝，CD＝3，CN＝＝，
从而DN²＋CN²＝CD²，所以DN⊥CN.
在Rt△PDB中，PD＝DB＝，N是PB的中点，则DN⊥PB.
又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.