Question

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（1）求x∈[-

π

2

，0]时，f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单增区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）在[0，

π

2

]的解析式，结合函数的奇偶性，求出f（x）在[-

π

2

，0]上的解析式；
（2）根据函数f（x）的周期性与奇偶性，求出f（x）的单调性与单调增区间即可．

解答： 解：（1）当x∈[-

π

2

，0]时，-x∈[0，

π

2

]，
∴f（-x）=sin（-2x+

π

3

）=-sin（2x-

π

3

）；
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-sin（2x-

π

3

）；…（6分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
由2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，解得x∈[0，

π

12

]，
∴f（x）在[0，

π

12

]上是单调增函数，…（8分）
同理，当x∈[-

π

2

，0]时，
f（x）在x∈[-

π

2

，-

π

12

]上是单调增函数；…（10分）
由函数的周期性知，f（x）的单调递增区间是
[kπ，

π

12

+kπ]、[-

π

2

+kπ，-

π

12

+kπ]，（k∈Z）；…（12分）

点评：本题考查了三角函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题，是基础题目．