Question

（2004•黄冈模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin²

B+C

2

-2cos2A=7．
（I）求角A的大小；
（II） 若a=

3

，b+c=3，求b和c的值．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得：4[1-cos（B+C）]-4cos²A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．
（II）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

及a=

3

，b+c=3，解方程组求得b和c的值．

解答：解：（I）在△ABC中有B+C=π-A，由条件可得：4[1-cos（B+C）]-4cos²A+2=7，（1分）
又∵cos（B+C）=-cosA，∴4cos²A-4cosA+1=0． （4分）
解得cosA=

1

2

，又A∈(0，π)，∴A=

π

3

．（6分）
（II）由cosA=

1

2

知

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，即(b+c)2-a2=3bc．（8分）
又a=

3

，b+c=3，代入得bc=2． （10分）
由

b+c=3 bc=2

 ⇒ 

b=1 c=2

 或

b=2 c=1

．（12分）

点评：本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．