Question

（2012•淄博一模）已知函数f（x）=2cos2

x

2

-

3

sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a为第二象限角，且f(a-

π

3

)=

1

3

，求

cos2a

1+cos2a-sin2a

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化为f（x）=1+2cos（x+

π

3

），即可求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）依题意可求得cosα=-

1

3

，sinα=

2 2

3

，

cos2α

1+cos2α-sin2α

可化简为

cosα+sinα

2cosα

，从而可求得其值．

解答：解：（Ⅰ）因为 f（x）=1+cosx-

3

sinx        …（1分）
=1+2cos（x+

π

3

），…（2分）
所以函数f（x）的周期为2π，值域为[-1，3]．           …（4分）
（Ⅱ）因为 f（a-

π

3

）=

1

3

，
所以 1+2cosα=

1

3

，即cosα=-

1

3

．                             …（5分）
因为 

cos2a

1+cos2a-sin2a

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

      …（8分）
=

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

2cosα(cosα-sinα)

=

cosα+sinα

2cosα

，…（10分）
又因为α为第二象限角，所以 sinα=

2 2

3

．                    …（11分）
所以原式=

cosα+sinα

2cosα

=

- 1 3 + 2 2 3

- 2 3

=

1-2 2

2

．                 …（13分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性及其求法，考查倍角公式，掌握三角函数间的关系是化简求值的关键，属于中档题．