Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）若直线y=

1

2

x+m是曲线y=f（x）的切线，求m的值；
（2）若直线y=ax+b是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），是曲线y=f（x）上相异三点，其中0＜x₁＜x₂＜x₃，求证：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的几何意义

专题：导数的概念及应用,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：（1）设出切点，求出导数，由题意可得切点坐标，进而得到m；
（2）设出切点，求出切线的斜率，构造函数f（a）=-alna-a，（a＞0），运用导数，求得单调区间和极值，也为最值，即可得到所求；
（3）运用分析法，即证

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

．令f（t）=

lnt

t-1

，则f（t）的几何意义表示过点（t，lnt）和（1，0）的割线斜率，运用f（x）的导数，即可得到结论．

解答： （1）解：设切点为（x₀，y₀），
函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=

1

x

，
则切线的斜率为

1

x0

，
由题意可得

1

x0

=

1

2

，即x₀=2，
则切点为（2，ln2），
则有ln2=

1

2

×2+m，
即有m=ln2-1．
（2）解：设切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率为

1

x0

，
由题意可得

1

x0

=a，即x₀=

1

a

，
y₀=-lna，
则-lna=1+b，即有b=-lna-1，
即ab=a（-lna-1），
令f（a）=-alna-a，（a＞0），
则f′（a）=-（lna+1）-1=-（lna+2），
当a＞e^-2，f′（a）＜0，f（a）递减；当0＜a＜e^-2，f′（a）＞0，f（a）递增．
即有a=e^-2时，f（a）取得极大值也为最大值，且为e^-2．
则有ab的最大值为e^-2．
（3）证明：当0＜x₁＜x₂＜x₃，要证

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．
即证

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

lnx3-lnx2

x3-x2

，即证

lnx2-lnx1

lnx3-lnx2

＞

x2-x1

x3-x2

，
即证

ln x2 x1

ln x3 x2

＞

1- x1 x2

x3 x2 -1

，即证

ln x2 x1

1- x1 x2

＞

ln x3 x2

x3 x2 -1

，
即证

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

．
令f（t）=

lnt

t-1

，
则f（t）的几何意义表示过点（t，lnt）和（1，0）的割线斜率，
∵f（x）=lnx（x＞0），
∴f'（x）=

1

x

，
∴当x＞1时，0＜f'（x）＜1； 当0＜x＜1时，f'（x）＞1．
而

x1

x2

∈（0，1），则有

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞1，

x3

x2

＞1，则0＜

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

＜1．
则

ln x1 x2 -0

x1 x2 -1

＞

ln x3 x2 -0

x3 x2 -1

成立．
即有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查构造函数运用导数求最值及判断单调性，构造直线的斜率是解题的关键．