Question

15．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≥0\\ y≤x\\ 2x+y-9≤0\end{array}\right.$时，所表示的平面区域为D，则z=x+2y的最大值等于9；若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．第二问利用直线斜率的几何意义进行求解．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域图示：
解：作出不等式组对应的平面区域如图：，
设z=x+2y，则y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$，平移直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$，当直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}z$经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
此时z_max=2×3+3=9，
因为y=a（x+1）过定点C（-1，0）．
当a≥0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
代入y=a（x+1）得4a=3，a=$\frac{3}{4}$，
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
此时0≤a≤$\frac{3}{4}$．
故答案为：9，[0，$\frac{3}{4}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合直线斜率的几何意义以及利用数形结合是解决本题的关键．