Question

6．如图，平面四边形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=DC=CB=1．
（1）若∠A=60°，求cosC．
（2）若△ABD和△BCD的面积分别为S、T，求S²+T²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接BD，在△ABD中，△BCD中利用余弦定理即可得解cosC的值．
（2）分别在△ABD，△BCD中由余弦定理得cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，两边平方整理得sin²C=-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S²+T²=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，结合范围0＜A＜$\frac{π}{2}$且A≠$\frac{π}{6}$，利用二次函数的图象和性质即可得解范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）如图，连接BD，
在△ABD中由余弦定理得：
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos60°=4-$\sqrt{3}$，
在△BCD中由余弦定理得：
BD²=BC²+DC²-2BC•DCcosC=2-2cosC，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．---------------------------（3分）
（2）在△ABD中由余弦定理得：BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=4-2$\sqrt{3}$cosA，
在△BCD中由余弦定理得：BD²=BC²+DC²-2BC•DCcosC=2-2cosC，
∴cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，-------------------------（5分）
两边平方整理得：sinC=-3cosA+2$\sqrt{3}$cosA，sin²C=-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA，-------------（6分）
S²+T²=（$\frac{1}{2}$AB•ADsinA）²+（$\frac{1}{2}$CB•CDsinC）²=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²C
=$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$（-3cos²A+2$\sqrt{3}$cosA）
=-$\frac{3}{2}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$，---------（8分）
依题意知：0＜A＜$\frac{π}{2}$且A≠$\frac{π}{6}$，------------------------（10分）
∴0＜cosA＜1，且cosA≠$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以S²+T²的取值范围为（$\frac{2\sqrt{3}-3}{4}$，$\frac{3}{8}$）∪（$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{8}$）．-----------------（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，二次函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．