Question

已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，，a²-b²=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；
（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x-1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意，，a²-b²=2，
∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴b=|OM|=1，
∴．…（3分）
∴椭圆的方程为．…（4分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．
设，，则为定值．…（5分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入整理化简，得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．…（6分）
依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，．…（7分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以=
==
==．．…．…（13分）
综上得k₁+k₂为常数2..…．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理是关键．