Question

已知定义在R⁺上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=-1；②对任意x、y∈R⁺都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（9）、f(

3

)的值；
（2）证明：函数f（x）在R⁺上为减函数；
（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x-1）-2．

Answer 1

分析：（1）给已知中的等式中的x，y都赋值3求出f（9）；给x，y都赋值

3

求出f（3）．
（2）利用函数单调性的定义证明，只要将x2写成

x2

x1

•x1，利用已知中的等式及x＞1时，函数值的符号证出．
（3）将不等式中的-2用f（9）代替；利用已知等式将f（x-1）+f（9）用一个函数值f（9x-9）代替，
利用函数的单调性脱去f，求出不等式的解集．

解答：（1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2
令x=y=

3

得f(

3

)+f(

3

)=f(3)=-1∴f(

3

)=-

1

2

（2）证明：设0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈R⁺
f(x2)=f(

x2

x1

x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（3）不等式等价于

6x＞9(x-1) 6x＞0 x-1＞0

，
解得1＜x＜3．

点评：本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出f（m）＞f（n）的形式．