Question

设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，-=（n∈N^*）．
（1）求证：S_n=（2-）a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）证明：数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，-=（n∈N^*）．
所以，
；
；
…
；
将n-1个式子相加可得：，
所以===2-；
∴S_n=（2-）a_n；
（2）因为S_n=（2-）a_n；
所以S_n-1=（2-）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-）a_n-（2-）a_n-1；可得，
因为a₂=2，当n=1时，满足数列{a_n}是等比数列公比为2．
所以a_n=2^n-1．
分析：（1）通过累加法求出的表达式，利用等比数列求出前n项和，推出结果．
（2）通过（1）说明的结果，利用求出S_n-S_n-1=a_n，n≥2，说明数列是等比数列，求出通项公式即可．
点评：本题是中档题，考查数列的通项公式与数列的前n项和的求法，注意本题的解题的策略与方法，解决数列的常用方法．