Question

向量m=（sinωx+cosωx，cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=m•n+t=cos2ωx+sin2ωx+t=2sin（2ωx+）+t，由 =，
ω=，∴f（x）=．当x∈[0，π]时，，
函数f（x）的最小值为 1+t=0，∴t=-1，∴．
由 ，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+，
故f（x）的增区间为 ，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（ ）-1，∴sin（ ）=1，由 0＜C＜π 可得，，
＜＜，∴=，C=，A+B=．
又 2sin²B=cos B+cos（A-C），∴2 cos²A=sinA+sinA，∴．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，二倍角公式，化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+）+t，根据周期性和最小值，
求出ω 和 t 的值，即得函数的解析式为，由，求得x的范围，就是f（x）的增区间．
（2）据f（C）=1，求得C=，A+B=，再由 2sin²B=cos B+cos（A-C），可得 2 cos²A=sinA+sinA，解出sinA 的值．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，二倍角公式，两角和正弦公式，正弦函数的单调性，定义域和值域，根据三角函数的值求角，求出函数f（x）的 解析式，是解题的关键．